Лучше выбрать первый вариант: Остальных подростков зовут Лиам и Чарльз по прозвищу Пончик.
Запятая перед по прозвищу ставится или нет в зависимости от интонации. Дело в том, что приложение, присоединяемое словами по прозвищу, может выделяться запятыми, если нужно передать соответствующую интонацию. Если интонации обособления нет, запятая не нужна.
Шевчук, Шевчука, Шевчуку, Шевчука, Шевчуком, о Шевчуке.
Мужская фамилия склоняется, а женская нет. Правильно: удостоверение выдано Вовчоку Николаю Сергеевичу.
Правильно: Шевчуку.
Если речь о ванной комнате, то правильно: коврик для ванной.
См. в "Письмовнике".