Корректно написание строчными буквами.
Корректно: тульский самовар, тульские пряники.
Оба варианта возможны.
Общая рекомендация — оформлять такие сочетания как описательные обороты, то есть писать без заглавных букв. При этом заметим, что нельзя исключить возможность их написания с прописной как устойчиво употребляемых усеченных названий.
Согласование – по слову учреждение: наше МКУ «Рошальский МФЦ».
Оба варианта корректны.
Верно: сельский Дом культуры (если слово сельский не входит в официальное название учреждения).