Предпочтительно: прожила добрые (добрых) четверть века.
Верен первый вариант.
Следует писать с большой буквы (как и фазы Луны).
Корректно: начало – третья четверть ХХ в.
Нет, такая формулировка некорректна: четверть века не может относиться к слову день.
Правильно: около четверти, примерно четверть.