Правильно: расчерчивать на квадратики или чертить квадратики на бумаге (с иным оттенком значения).
Одно из значений слова проектировать: "изображать на плоскости какую-л. фигуру, предмет, чертить проекцию" (см. в словарях). Такое употребление корректно.