Допустимы оба варианта. Выбирать Вам.
Правильно: расчерчивать на квадратики или чертить квадратики на бумаге (с иным оттенком значения).
Правильно: мерить температуру.
Оба слова есть в русском языке.
Правильно раздельное написание: верить на слово.
Нормативно: чЕрпать.
Одно из значений слова проектировать: "изображать на плоскости какую-л. фигуру, предмет, чертить проекцию" (см. в словарях). Такое употребление корректно.