В значении "пользоваться возможностью"? Это корректно для разговорной речи.

Кавычки не требуются.

Корректно: мне остается только плакать как ребёнок. 

Запятая не нужна. 

Верно: Какое бы решение вы ни приняли, мы будем уважать...

Предложение составлено верно, его не нужно менять.

В словарях и в Национальном корпусе русского языка это наречие отсутствует, но оно вполне может быть образовано как выразительное средство в разговорной или художественной речи по аналогии с наречиями вкрутую, вдолгую, в открытую и т. п. 

Да, в обоих примерах слово учитель стоит в винительном падеже. А вот, например, в словосочетании портфель учителя  слово учитель стоит в форме родительного падежа.

Определить падеж очень просто: надо подставить слово первого (по школьной грамматике) склонения, потому что у слов первого склонения разные окончания в винительном и родительном падежах. Возьмем, например, слово учительница. Гордость за учительницу, уважать учительницу – винительный падеж. Но: сумка учительницы – родительный падеж.

Верно: вызвал двадцать три студента.