Правильно: в теплой ванне (в емкости с теплой водой). В теплой ванной означает "в теплом помещении с ванной". 

Эти слова имеют разное значение. Выберите то, которое подходит по контексту: компетентность – обладание необходимыми знаниями, осведомленность; компетенция – круг полномочий, вопросов, подлежащих чьему-то ведению.

Лучше использовать форму единственного числа (как Вы написали).

Возможно: впечатления чего, о чем и от чего.

Запятая перед сочинительным союзом, соединяющим два вопросительных предложения, не нужна. См. пункт 5 параграфа 112 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.).

Верно: оружием мериться мы не будем.

Составной союз для того чтобы может расчленяться и в начале, и в середине предложения. См. «Справочник по пунктуации».

Эта аббревиатура склоняется. Правильно: лечиться от СПИДа.