Возможно в зависимости от контекста: передать Смирнову ходатайство, рассмотреть ходатайство (чье?) Смирнова.
Верно: ходатайство о чём-либо, поэтому: ходатайство об обучении.
Правильно: ходатайство.
Правильно: Подать ходатайство председателю комиссии.
Можно.
Многие толковые словари признают сочетание возбудить ходатайство корректным, иллюстрируя им одно из значений глагола возбудить. См., например, «Большой толковый словарь русского языка» под ред. С. А. Кузнецова.
Правильно: ходатай, ходатайство, ходатайствовать.
Следует использовать форму родительного падежа (награждении Герасимовой Ольги Владимировны). И лучше немного перестроить предложение: Ходатайство о награждении Герасимовой Ольги Владимировны почетным знаком...