Выполнить это задание Вам поможет учебник Е. И. Литневской «Русский язык: краткий теоретический курс для школьников», см. раздел «Неопределенная форма глагола (инфинитив)».
Верно: ...века (в единственном числе).
Верен первый вариант.
Это сочетание не является вводным и не обособляется.
Правильна форма единственного числа с наращением: конца 19-го – начала 20-го века.
Правильно: день Ивана Купалы.