Слово талант (и о человеке тоже) – неодушевленное существительное. Правильно: поддержать юные таланты.
Название должности пишется со строчной буквы.
Оба варианта возможны согласно правилам.
Следует писать слитно, если далее нет противопоставления.
Верно: Мои фанаты постоянно спрашивают меня: «С чего ты взял, что мы твои фанаты? Ты кто такой вообще?»
По общему правилу в названии этого музея с большой буквы пишется первое слово и входящее в состав названия имя собственное: Палаты бояр Романовых.