Нет, эти слова этимологически не родственны. Для более подробного изучения этого вопроса можно обратиться к этимологическим словарям. 

«Справка» не выполняет домашних заданий.

Определения мрачный и пустынный в общем случае характеризуют берег с разных сторон: мрачный говорит о производимом им гнетущем впечатлении, пустынный — об отсутствии на нём людей, животных, растений. Следовательно, запятая между ними не нужна. Другое дело, что второй из этих признаков тоже может производить гнетущее впечатление. Если требуется подчеркнуть это в художественном тексте, то определения можно счесть однородными и поставить между ними запятую.

Словарной фиксации нет. Преобладает написание со строчной буквы, этой тенденции и нужно следовать. 

В словаре Лопатина В. В., Нечаевой И. В. и Чельцовой Л. К. «Прописная или строчная? Орфографический словарь» (М., 2011) рекомендуется в этом имени сказочного персонажа писать все слова с прописной буквы. 

Нет, это не омонимы. В сочетании красный командир прилагательное изменило свое значение.

Корректно: красный диплом.

В обоих случаях оба слова в собственном названии улицы нужно писать с прописной буквы: Красный Путь.