Однозначной рекомендации нет, предлоги конкурируют: на архипелаге Фиджи, но в государстве Фиджи. Для снятия неоднозначности можно написать так: выборы в Республике Фиджи.
Название Фили склоняется (вспомните: совет в Филях). Правильно: выехать из Филей.
Обособление не требуется, поскольку деепричастие имеет значение обстоятельства образа действия и частично утратило глагольное значение.
2. Правильно: Из окон открывается красивый вид.
Мужской вариант склоняется: Филей, Филея, Филею и т. д.
Правильно: сиди расслабленно.