Орфографический словарь
Большой толковый словарь
Русское словесное ударение
Верно (о книге, которая принадлежит Пете): Петина книга.
Да, эта фамилия склоняется (и мужская, и женская).
Правильно с прописной: это Сашина (Лилина, Петина) шляпа.
Фраза корректна.
Оснований для постановки кавычек нет.