Подобные аббревиатуры в строгой деловой письменной речи не склоняются. В разговорной речи склонение возможно.
Корректно: в ФАП.
Второй вариант верен.
Эта аббревиатура пишется прописными буквами, как и большинство других инициальных аббревиатур.
Если при фамилии имеются два мужских имени, то она ставится в форме множественного числа: Алексей и Роман Фады.
Оба варианта верны.
Противоречия нет. В строгой деловой письменной речи звуковые аббревиатуры, заканчивающиеся на согласный, не склоняются, в других текстах, в том числе в более свободных жанрах деловой речи (например, в деловой переписке), — склоняются.
Действительно, здесь возможны разночтения. Снять их поможет контекст. Если контекста нет, а автору важно избежать двоякого толкования, предложение лучше перестроить.