Корректно: специальность "учитель".
Правильно (если речь идет о школьном предмете): учитель труда.
Верно со строчной буквы: заслуженный учитель РФ.
Оба варианта возможны, но употребительнее: учитель математики.
Корректно: учитель русского языка.
Учитель - от глагола учить.
В официально-деловом стиле речи предпочтительно при наименовании лиц по профессии или должности использовать существительные мужского рода: "Где учитель?"