Запятая не нужна.
Если имеется в виду стадион "Геолог", то предлог на использован верно (ср.: На стадион приедет команда из Курска).
Да, не пишется раздельно, т. к. есть противопоставление.
Употребительно: врач ультразвуковой диагностики.
Для точного ответа требуется контекст. Скорее всего, кавычки нужны, так как словарное значение слов живой уголок — "специальное место (обычно в учреждении), где содержатся животные, птицы", а в Вашем случае эти слова используются в особом, условном значении. Кавычки точно нужны, если Вы хотите подчеркнуть ироническое значение этого сочетания.