Нет, это не цельное словосочетание.
Правильно: попрощавшись, слезы спрячу в глубине.
Корректно: Невзгоды прочь, и прочь беда.
Запречь - разговорный, а также устаревший вариант к запрячь.
Да, это устойчивое сочетание пишется без запятой.
Верно: Вдруг они, сговорившись, улетают прочь от берега.
Обычно манят куда-то, а не откуда.
Такое предложение имеет право на существование.
После ж, ш, ч, щ буква ь пишется в формах повелительного наклонения глаголов на конце слова (мажь, ешь, прячь), во множественном числе перед -те (мажьте, ешьте, прячьте), а также перед постфиксом -ся (прячься). В слове нажми нет условий для написания мягкого знака.
Да, в данном контексте это обращения, требуются запятые.