Верно: ежиный нос и нос ежа.

Правильно: лизнуть нос.

В словаре Лопатина В. В., Нечаевой И. В. и Чельцовой Л. К. «Прописная или строчная? Орфографический словарь» (М., 2011) рекомендуется в этом имени сказочного персонажа писать все слова с прописной буквы. 

Корректно: закапать (лекарство) в нос, в глаза...

В переносном значении: зазнаться, загордиться.

См. в «Справочнике по фразеологии».

Вероятно, эти слова объединяет признак непроизводности.

Все варианты возможны.

Возможны оба варианта, но родительный падеж передает значение частичного охвата предмета действием, т. е. дайте капель — просьба дать какое-то небольшое, ограниченное количество капель. Кроме того, в разговорно-просторечной и диалектной речи могут употребляться в форме родительного падежа существительные со значением конкретного предмета, если указывается объект временного пользования: дайте капель в этом случае может выступать как просьба попользоваться лекарством (покапаю и верну). Винительный падеж всех этих оттенков значения не передает и просто выражает просьбу дать капли.