Запятая после значит нужна. Подробное объяснение см. в "Справочнике по пунктуации".
Сочетание тянуть резину в кавычки не заключается.
Правильны оба варианта – с предлогом и без предлога. В толковых словарях русского языка это выражение может быть представлено следующим образом: (в) последнее время. Предлог в заключен в скобки, что указывает на его факультативность (необязательность) в этом сочетании.
Верно: на славу.
Правильно: безынтернетное время.