Т произносится мягко.
Ваш вопрос поставил нас в тупик. А как Вы произносите мягкий знак?
Буквенные аббревиатуры читаются по названию букв: [эсэсэсэр], [пээмэс], у аббревиатуры ТСЖ закрепилось произношение [тэсэже].
Словарная рекомендация - с твердым [тЭ].
Филологические словари фиксируют только прилагательные экзистенциальный и экзистенциалистский.
Большой толковый словарь
Связанный с бытием, существованием человека. Э-ые проблемы жизни.
к Экзистенциализм и Экзистенциалист. Э-ие взгляды.
В названии реки произносится [тэ].