Верно: просить прощения.
Верен второй вариант.
Употребительно - бросить курить.
Правильно: просить прощения.
Верно: попить чайку.
Возможные варианты: просить кого-либо о помощи, просить кого-либо помочь, просить чьей-либо помощи, просить у кого-либо помощи.
Это слова с разными корнями. Транжира - от франц. trancher либо etranger.
Верно: Можно я пойду попить воды?