Оборот поднять тост не является ошибочным. См. в «Словаре трудностей».
Алаверды – во время застолья: передача слова для тоста другому.
Это слово произошло от арабского allah – "бог" и турецкого verdi – "дал" (форма прошедшего времени глагола ver – "давать"; буквально бог дал).
Форма им. падежа мн. числа - тосты.
Эти слова могут быть контекстными синонимами.
Все указанные Вами глаголы могут быть использованы.
Ваше (твое) здоровье или за ваше (твое) здоровье – обращение к тому, за кого поднимают тост. На здоровье – выражение доброго пожелания в ответ на благодарность за еду, за угощение.