Предпочтительно: со мной, с тобой. Варианты мною, тобою тоже допустимы, но словарями они рассматриваются как устаревшие.
Форма тобою отнюдь не считается устаревшей. См., например:
Большой универсальный словарь русского языка
ТЫ, род. тебя и прост. тя, дат. тебе и прост. те, вин. тебя, твор. тобой и тобою, предл. тебе, мест. субст., личн. 2 л. ед. ч.
Правильно с прописной (большой) буквы.
Такое употребление неверно. См. также «Непростые слова».
Нет, названия районов в кавычки не заключаются: район Бескудниково.
Мною, тобою – устаревшие варианты.