Мужская фамилия Чиграй склоняется, женская – нет.

Правильно: С наступающим годом Тигра!

Да, это неполное предложение.

Запятая не ставится.

ТИГРОВЫЙ, -ая, -ое.
1.
к Тигр. Т-ая шкура. Т. глаз (также:
блестящий минерал золотисто-бурого или синевато-жёлтого цвета, употребляемый как декоративный камень для изготовления мозаики, украшений).
2.
Жёлтый с тёмными полосами, цвета шкуры тигра. Т-ая расцветка шерсти. Т-ое одеяло. Т. костюм.
3.
Как составная часть некоторых зоологических и ботанических названий. Т-ая акула. Т. питон. Т-ая лилия.

ТИГРИНЫЙ см. Тигр.< Тигриный, -ая, -ое. Т. след. Т. хвост. Т-ые черты характера. Т-ая повадка, походка (также: как у тигра).

Имя собственное может выражаться словосочетанием. Но в Ваших примерах именами собственными являются только слова Тихий и Северное.

Кавычки не требуются.

Запятая нужна: А ты знаешь, какого цвета кожа тигра?

Указанная запятая не нужна.