Запятая нужна: Лепесток розы, или Турецкий дом.
Верно: анти-Жердецкие.
Слова на -цкий образуются от основ на Ц, К и Ч, причем согласные К и Ч чередуются с Ц, а первый согласный суффикса -ск- фонетически поглощается предшествующим Ц, и это передается на письме сочетанием цк.