Корректно: в Республике Индии.
Если имеется в виду учреждение, верно: Посольство России в Индии.
Предпочтительно: заимствованы у украинцев, заимствованы из Индии.
Нет, с точки зрения морфемики это не однокоренные слова.
Правильно: Пиккадилли, Таймс-сквер.
В словаре В. В. Лопатина, И. В. Нечаевой, Л. К. Чельцовой «Прописная или строчная? Орфографический словарь» (М., 2011): Древняя Индия.
Предпочтительно: на пляжах западного и восточного побережья Индии.
Большой толковый словарь
Вы правы. Ответ исправлен. Спасибо!