Пожалуйста, сформулируйте конкретный вопрос.
См. в учебнике Е. И. Литневской.
Корректно: в стиле классицизм.
Принято выделять следующие основные функциональные стили русского языка: научный, деловой, разговорный, публицистический, стиль художественной литературы.
Да, в такой конструкции кавычки уместны. Но лучше звучит: в спортивном стиле.