Верно с прописной: Танина вещь.
Да, требуется склонение, в том числе и при употреблении названия в функции приложения.
Правильно: глава муниципального образования «Станица Динская».
В известных нам орфоэпических словарях и словарях имен собственных это наименование не зафиксировано. Однако мы переадресовали Ваш вопрос ростовским краеведам, которые сообщили, что ударение падает на первый слог: станица Грушевская. Название станице дано по названию реки Грушевка, которое зафикисировано в "Словаре собственных имен русского языка" Ф. Л. Агеенко.