Допустимо: Сразу же, без лишних слов мы отправились...
Широко известно, что, как только происходит что-нибудь не совсем обыкновенное, сразу же появляются слухи.
Верно: Курьер прибыл в ресторан, и, как только заказ приготовят, он сразу же направится к вам.
Обстоятельство места со двора во втором предложении не может быть отнесено к части сразу же послышался детский плач потому, что глагол послышаться не сочетается с обстоятельственными формами, отвечающими на вопрос откуда? — его сферу сочетаемости составляют лишь формы, отвечающие на вопрос где?, что отражено и в примерах в его словарной статье (с глаголом раздаться такие сочетания вполне допустимы, сравним пример Из открытого окна раздавались звуки рояля в словарной статье). При замене некоторых слов и форм это препятствие исчезает, сравним: Со двора раздались громкие встревоженные голоса и сразу же донесся детский плач; Во дворе раздались громкие встревоженные голоса и сразу же послышался детский плач.
Кроме того, нельзя не отметить, что в первом из приведенных предложений глаголы-сказуемые относятся к несовершенному виду, а это указывает на одновременность обозначаемых ими ситуаций; во втором же предложении глаголы совершенного вида, что указывает на последовательность ситуаций, причинно-следственный характер отношений между ними, и это дает возможность воспринимать обстоятельство в начале предложения как относящееся только к первой части даже при замене некоторых слов и форм.
Правильно: Широко известно, что, как только происходит что-нибудь не совсем обыкновенное, сразу же появляются слухи.
Корректно: В ходе размышлений об Общине как о тезисе, как об идеале и путях его эволюционного осуществления, в моём сознании стали сразу же появляться и примеры антитезиса.
Возможный вариант:
1 апреля 1928 г., во время окончательного утверждения сметы, прошло сокращение штатов: количество работников было доведено до 254 человек, что сразу же отрицательно отразилось на деятельности милиции, и со стороны населения стали поступать нарекания, что сотрудники милиции жалобы не принимают.
И путешествия ему,
Как всё на свете, надоели,
Он возвратился и попал,
Как Чацкий, с корабля на бал.
Эти слова употреблены по отношению к Онегину. Пушкин сравнивает Онегина с Чацким - главным героем комедии А. С. Грибоедова "Горе от ума", который, возвратясь из странствий, сразу же попал на бал к Фамусову.
В современном русском языке это выражение употребляется для обозначения резкого, неожиданного перехода из одной обстановки в другую.
За глаголом остаться довольно часто следует глагол несовершенного вида. Вот несколько примеров.
Иван Иванович и я остались ждать в парке, а Клавдия Тихоновна отправилась искать Николая Владимировича, чтобы узнать о возможности устройства нашей судьбы. Д. Гранин, «Зубр». Сергей хотел сразу же уехать, но Павел Алексеевич попросил его остаться ночевать. Л. Улицкая, «Казус Кукоцкого». Старик помнил, что вроде бы все инструменты он продал в тяжелые времена ― но, видать, самые мелкие и тонкие остались ждать своего часа в углу за веником. Л. Петрушевская, «Маленькая волшебница».
Предложение Он всегда останется помочь построено корректно. Сочетание останется помогать также возможно, но не в данном предложении.
Очень сомнительная ситуация, увы. Если в списке фразеологизмов, опубликованных на сайте ФИПИ, имеется сочетание только что, то выбравшему его ученику такой выбор не может быть засчитан за ошибку. Тем более что широкое понимание фразеологии, на котором настаивают многие ученые, позволяет обнаружить в приведенных Вами предложениях и другие фразеологизмы: например, с порога. См.: = С порога — сразу же после прихода куда-л. — Если бы кто-нибудь... с порога взглянул на них, то непременно заключил бы, что они сидят и миролюбиво разговоривают. Достоевский. (Фразеологический словарь современного русского литературного языка. Под ред. А. Н. Тихонова. М.: Наука, 2004. Т. 2. С. 80.)
