См. в Письмовике Как писать заявление и Как составить справку.
Прилагательные легальный и легитимный имеют разные значения. В данном случае - "полученный законным путем" и "признаваемый законом".
Правильно: полагает целесообразным выдать справку или полагает целесообразной выдачу справки.
Осуществляет справки – некорректное сочетание, его надо заменить. Можно сказать, например, что менеджер отвечает на вопросы клиентов по телефону и по электронной почте.
1. В значении "ради исполнения": во исполнение.
2. Корректно: срок предоставления.
Правильно: согласно чему - согласно справке?
Правильно: причину отказа в выдаче справки.