Правильно: городского округа Реутов.
Предпочтителен первый вариант.
Названия зарубежных административно-территориальных единиц обычно не согласуются с родовыми наименованиями: глава администрации округа Лимасол.
Правильно: главе городского округа Краснознаменск Московской области.
Лучше всего: при содействии администрации Воронежа.
У местоимения его род не определяется.
Запятая нужна: Библиотека, достойная округа.
Если это предложение целиком, то оно составлено неверно. Возможный вариант: Считаем необходимым поддержать инициативу депутатов...