Верно: собачья (будка, конура и т. д.).
Обособление оборота с предлогом «в отличие от» факультативно.
Да, это приложение. Корректно: Приклей одному клоуну помощника-собачку, а другому – воздушный шар.
Запятая перед союзом и в этом предложении не нужна, т. к. союз соединяет однородные сказуемые. В диктанте правильным признается вариант без запятой.