Верно: он занимался черт-те чем.
Такова была некогда орфографическая норма.
Объяснение неполное и в чем-то неправильное. Например, корень, связанный с чтением, все же чередование содержит, ср.: прочесть, прочёл, дочёл (в этих словоформах корень имеет форму -чес- и -чё-). Правда, е и ё появляются лишь под ударением, и этими формами редко проверяют безударную гласную, быстрее вспоминаются формы с ударным [и] — читаный, читарь, читка. Корни, которые Вас интересуют, подробно описаны здесь.
Верно, запятая не нужна.
Пожалуйста, задайте вопрос.
Допустимо с запятой и без запятой: тьфу ты, чёрт и тьфу ты чёрт. Чаще встречается вариант с запятой. Но окончательное решение – за автором текста.