Верны оба варианта: фильм получил «Оскар» и фильм получил «Оскара». Но: фильм получил премию «Оскар». См.: Зализняк А. А. Грамматический словарь русского языка. 5-е изд., испр. М., 2008.
Верно: "Скайп" и (в бытовом употреблении) скайп.
Корректно: Скарга, Скарги, Скарге, Скаргу, Скаргой, о Скарге; Фандий, Фандия, Фандию, Фандия, Фандием, о Фандии.
Оба варианта возможны.
Верное управление: дан старт чему. Однако со словом университет сочетание неудачно.