Правильно: большинство сдало экзамен. Формальное согласование рода и числа сказуемого требуется, если собирательное существительное не имеет при себе зависимых слов.
Оба варианта правильны.
Правильно раздельное написание: не сдавшие экзамен.
Нет, такая замена (допуск до экзамена) является грамматической ошибкой.
Корректно написание со строчной буквы: так пишут в официальных документах, регламентирующих проведение ЕГЭ, и такова современная словарная фиксация.
Если по иностранным языкам пройдет несколько экзаменов, то верен второй вариант.
На наш взгляд, эти варианты равноправны и не различаются по значению.
Предпочтительно согласование во мн. ч.
В этом случае допустимы два варианта: большинство студентов сдало экзамен и большинство студентов сдали экзамен. Собирательным существительным является не слово студентов, а слово большинство. См. в «Письмовнике»: Единственное и множественное число сказуемого.