Название обычно не склоняется, если род обобщающего нарицательного слова и топонима не совпадают. Верно: музей, школа села Прасковея.
Верен второй вариант. Подробнее см. в «Письмовнике».
Приложения-топонимы среднего рода, оканчивающиеся на -е, -о (но не на -ово, -ево, -ино, -ыно), охвачены в современном русском языке тенденцией к несклоняемости. Корректно: жители села Городище.
При употреблении в сочетании с родовым словом согласование не требуется: жители села Ясная Поляна.
Кавычки в этом случае не требуются.