Написание без кавычек корректно.
Правильно: Московский государственный ансамбль танца «Русские сезоны».
Оба варианта возможны.
Наращение использовать не нужно.
Верно: в лавиноопасный сезон.
Правильно: открытий.
Обе указанные запятые не нужны.
Корректно с наращением: 25-го сезона.