Верно: Три объекта находятся в Республике Саха (Якутия), три — в Приморском, и один — в Камчатском крае.
Правильно: Председатель Правительства Республики Саха (Якутия), Председатель Государственного собрания (Ил Тумэн) Республики Саха (Якутия).
Уместно написание обоих слов с большой буквы в этом сочетании.
Правильно: день Ивана Купалы.
Верно: празднуют Ивана Купалу.
Слово якутка в значении "представительница коренного населения Якутии" зафиксировано в словарях без каких-либо помет. Это слово общеупотребительное и не является оскорблением.
Словарная фиксация: аргоно-дуговая сварка. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.