Правильно без мягкого знака.
См. в «Справочнике по фразеологии».
В первой части — преуспеете (главный член определенно-личного предложения в форме простого глагольного сказуемого), во второй — не придется валять дурака (главный член безличного предложения в форме составного глагольного сказуемого с модальной связкой, смысловой компонент выражен фразеологизмом), в третьей — вы станете человеком (составное именное сказуемое с полузнаменательной связкой).
Да, объяснение есть. Валенки пишется через е, потому что исторически связано с причастием валенный, образованным от глагола валить в значении «скатывать, сбивать что-либо из шерсти». В современном русском языке слово валенки является исключением, так как соотносится с глаголом валять, с сочетанием валяные сапоги.
Корректно без запятых.
Оба сочетания правильны.