Возможны оба варианта (с учетом контекстных различий).
Корректно: политологи ломают голову.
Это устойчивое выражение, поэтому употребляется форма ед. ч. даже по отношению к нескольким лицам: Не сносить тогда вам головы.
Правильно: Численность коров составила пятьдесят одну голову.
Оба варианта верны.
Оба варианта верны.
В таких случаях используется форма единственного числа: У них болит голова, у них болит горло.
Форма множественного числа существительного горло образуется способом, стандартным для существительных среднего рода на -о: горла. Сравним: сёла (от село), средства (от средство).
Правильно: Большая земля в значении «материк»: на Большой земле.