Во множественном числе верно: соусы. Вариант соуса допустим в разговорной речи.
Верно: инжирное варенье. Верны оба варианта: соусы и соуса, некоторые словари фиксируют только вариант соусы.
Кавычки нужны.
Корректно: диагноз «сахарный диабет».
Корректно: соус песто.
Словари фиксируют прилагательное йогуртовый. Лучше: йогуртовый соус.
О том, чем отличаются слова русский и российский, читайте в «Словаре трудностей».
Корректно: соус барбекю.