Правильно: при поддержке Сары Назарбаевой.
Каково в данном случае значение слова бар?
Правильно: стрижка каре.
Слово верх многозначное, омонимы словарями не фиксируются. В этом можно убедиться, воспользовавшись толковым словарем, например на нашем портале. Многозначное слово описывается в одной словарной статье, значения нумеруются внутри статьи. Омонимы описываются в разных статьях, в этом случае обычно нумеруются статьи (ср. со статьями для омонимов брак).
Сформулируйте, пожалуйста, вопрос.
Да, фамилия склоняется.