Корректно дефисное написание (как скатерть-самобранка).
Кавычки нужны. Верно: ВИА "Самоцветы".
Следует либо использовать внутренние кавычки другого рисунка ("лапки"), либо отказаться от сдвоенных закрывающих кавычек.
Корректно: инкрустировать самоцветами.