Кавычки не требуются: борьба самбо, борьба дзюдо.
Слово самбо употребляется в современном русском языке как существительное среднего рода.
Правильно: Съемка зала самбо в ГБОУ «Лицей "Международная космическая школа им. В. Н. Челомея"».
Верно: прошли чемпионат и первенство.