Правильно: в Новом Саде. «Словарь грамматических вариантов русского языка» Л. К. Граудиной, В. А. Ицковича, Л. П. Катлинской (М., 2008) указывает, что если существительное употреблено в сочетании с прилагательным, то в нейтральном стиле письменной и устной речи выбирается форма на -е, ср.: в Хабаровском крае, в телевизионном мосте, в головном мозге, в длительном отпуске.
При Саде... (форма на -у только в местном значении: где - в саду, в лесу, в порту).
Верно: открытие четырех детских садов.
В данном случае - да. Но без запятой: пойду почитаю в саду.
Правильно: заведующая детским садом.
Верно: заведующая детским садом, управляющий банком.