Правильно: в городе Рязани.
Правильно: в городе РязанИ (Рязань - существительное 3-го склонения).
Выбор предлога зависит от используемого глагола либо иного слова, управляющего предлогом.
Правильно: сообщением.
Правильно склонять название города: сайт г. Рязани, о наделении города Рязани. Подробнее см. в Письмовнике.