Верно: прыгнуть с тарзанки.
Эти сочетания корректны и зафиксированы в словаре.
Вынуть – единственное в русском языке слово без корня. Когда-то в этом слове корень был, но утратился вследствие исторических преобразований.
Вытащить - разговорный вариант, вынуть - общеупотребительный.
Кавычки использовать не нужно.
Не обособляется деепричастный оборот, тесно связанный по содержанию со сказуемым и образующий смысловой центр высказывания. На наш взгляд, в Вашем предложении запятая все же нужна, так как предложение содержит два смысловых центра – сказуемое и деепричастный оборот.