В названиях музеев с большой буквы пишется первое слово и входящие в состав названия имена собственные: Музей кукол, Государственный Русский музей, Государственный музей изобразительных искусств им. А. С. Пушкина.
«Русский орфографический словарь» Российской академии наук (М., 2012) фиксирует написание Фонтанный дом.