Это зависит от официального названия учреждения.
Название сообщества следует писать в кавычках, первое слово с большой буквы: «Русское воинское искусство».
Корректно: рисунок "в елочку".
В принципе возможны оба наименования.
Правильно: тканый узор (т. е. узор, который был выткан).