Поскольку здесь сказуемое следует за подлежащим (см. § 2246 Русской грамматики 1980 г.), а также подчеркивается, что действующие лица были разные, необходимо множественное число сказуемого: И Антон, и Роман писали диссертацию.
Форма деепричастия - пиша. Нужно отметить, что эта форма практически неупотребительна.
Название склонять не следует: стартовал на «Ролан Гаррос».
Между частями сложного предложения запятая не нужна, так как части объединены общим обстоятельством вчера.
Да, им. п. мн. ч. - риски.